Spin em Quântica e Rotações na Mecânica Clássica: Isomorfismo entre Álgebras de Lie
Estudar Grupos e Álgebras de Lie é fundamental na física teórica porque eles capturam a essência das simetrias contínuas que regem as leis da natureza. Desde a conservação de energia até a estrutura das interações fundamentais, todas estão enraizadas em simetrias expressas por esses objetos matemáticos. Grupos de Lie descrevem transformações contínuas como rotações e translações, enquanto suas álgebras associadas facilitam os cálculos infinitesimais dessas transformações. Na teoria quântica de campos, na relatividade e na física de partículas, as álgebras de Lie organizam os operadores que geram transformações, revelando as leis de conservação e a estrutura dos estados físicos possíveis.
Antes de partirmos para a verificação de fato do isomorfismo entre $\mathfrak{su}(2)$ e $\mathfrak{so}(3)$, vamos nos familiarizar com alguns conceitos. Vou deixar de forma bem introdutória pois cada um desses tópicos é bastante rico e complexo para ser explicado em uma publicação de um blog.
O que são esses Grupos de Lie?
Em um post anterior eu expliquei um pouco sobre o que é essa estrutura abstrata chamada de Grupo, agora vamos nos aprofundar um pouco mais em um tópico específico.
No contexto da Teoria de Grupos, os Grupos de Lie surgem como uma ponte fascinante entre a álgebra e a geometria, desempenhando um papel essencial na física teórica, especialmente na formulação das simetrias contínuas que regem as leis da natureza. Para compreendê-los de forma intuitiva, podemos pensar neles como objetos matemáticos que combinam a estrutura de grupos com a fluidez das variedades diferenciáveis.
Isso significa que podemos aplicar ferramentas do cálculo diferencial para entender as transformações contínuas descritas por um grupo de Lie, o que é fundamental para estudar simetrias em sistemas físicos. Um exemplo clássico é o grupo das rotações no espaço tridimensional, $SO(3)$, que é um grupo de Lie — suas rotações formam um grupo, e esse grupo pode ser representado como uma variedade diferenciável tridimensional.
A estrutura de variedade permite que definamos objetos infinitesimais — como vetores tangentes — em torno do elemento identidade do grupo, o que nos leva naturalmente à definição da Álgebras de Lie associada. Esta álgebra captura a estrutura infinitesimal do grupo, revelando como pequenas transformações se comportam e interagem. Assim, enquanto o grupo de Lie descreve simetrias globais, sua álgebra de Lie associada nos dá acesso à estrutura local dessas simetrias — uma ferramenta indispensável, por exemplo, na mecânica quântica, relatividade e na teoria de gauge.
Um pouco sobre Álgebras de Lie
Como introduzi acima, uma Álgebra de Lie associada à um grupo $G$ é definida como sendo o espaço tangente ao grupo no elemento neutro $e \in G$. Esse espaço tangente é um espaço vetorial que é munido de uma operação chamada de Colchete de Lie que, dado uma álgebra de Lie $\mathfrak{g}$, é definido como:
\[[\cdot \:, \cdot]: \mathfrak{g} \times \mathfrak{g} \longrightarrow \mathfrak{g}\]O colchete de Lie deve satisfazer algumas propriedades:
- Bilinearidade
- Antissimetria
- Identidade de Jacobi
Uma das formas para descobrirmos como é a Álgebra de Lie de determinado grupo de Lie é tomar a curva abaixo:
\[g(t) = 1 + At + \mathcal{O}(t^2)\]onde $\mathcal{O}(t^2)$ são termos de ordem superior a $t$ e que geralmente desconsideramos pois $t$ toma valores muito pequenos. Essa curva (para $t$ pequeno) representa os elementos do grupo $G$ próximos à identidade e é bastante útil pois $A$ é simplesmente um elemento da álgebra .
Algumas propriedades dos grupos $SU(2)$ e $SO(3)$
Não entrarei em muitos detalhes mas o grupo $SU(2)$ é definido como
\[SU(2): \{ M \in U(2) \: | \: \det M = 1 \}\]É chamado de grupo especial unitário, especial pois seu determinante é igual a 1 e unitário porque como ele é um subgrupo de $U(n)$, nós temos que $U^\dagger U = \mathbb{I}$. Onde as matrizes $U$ são complexas
Para o grupo $SO(3)$ temos um formato parecido porém as matrizes são reais:
\[SO(3): \{ M \in O(3) \: | \: \det M = 1 \}\]e temos que $O^TO = \mathbb{I}$.
A álgebra $\mathfrak{su}(2)$
Vamos verificar como é a estrutura das matrizes de $\mathfrak{su}(2)$:
\[g(t) = 1 + At + \mathcal{O}(t^2)\]Pelas propriedades do grupo SU(2) temos que $U^{\dagger} = U ^{-1}$ e $\det U = 1$ para todo $U \in SU(2)$. Sendo assim, vamos usar a primeira propriedade:
\[g(t)^{\dagger}g(t) = 1\] \[(1 + A^{\dagger}t)(1 + At) = 1\] \[1 + At + A^{\dagger}t + \mathcal{O}(t^2) = 1\] \[(A + A^{\dagger})t = 0\]Isso tem que ser verdadeiro para qualquer valor de $t$, logo:
\[A = -A^{\dagger}\]Vamos realizar um procedimento semelhante para a propriedade $\det U = 1$:
\[\det (1 + At + \mathcal{O}(t^2)) = 1\] \[1 + \det(At) = 1\] \[t\det(A) = 0\]Lembrando da relação entre traço e determinante, temos que próximo à identidade o determinante de qualquer matriz é igual ao seu traço, então:
\[Tr(A) = 0\]Portanto, vemos que á álgebra de Lie $\mathfrak{su}(2)$ é composta por matrizes $2 \times 2$ que são anti-hermitianas e possuem traço nulo:
\[\mathfrak{su}(2): \{U \in Mat(\mathbb{C}, 2) \: | \: Tr(U) = 0, \: \:U = -U^{\dagger} \}\]Veja que as matrizes que satisfazem essas condições são as 3 matrizes de Pauli $\sigma_i$ com uma pequena mudança que mostrarei daqui a pouco.
As matrizes de Pauli são as geradoras do grupo $SU(2)$. Realizando o cálculo de $[\sigma_{i}, \sigma_{j}]$ temos que o comutador (não é o colchete de Lie de $\mathfrak{su}(2)$ pois como falei antes elas não são as geradoras da álgebra) tem a estrutura abaixo:
\[[\sigma_{i}, \sigma _{j}] = 2i \epsilon_{ijk} \sigma _{k}\]A álgebra $\mathfrak{so}(3)$
Vamos encontrar a estrutura da álgebra de Lie $\mathfrak{so}(3)$. Pelas propriedades do grupo SO(3) temos que $O^TO = \mathbb{1}$ e $\det O = 1$ para todo $O \in SO(3)$. De forma semelhante ao que fizemos na álgebra $\mathfrak{su}(2)$ temos que:
\[(1 + At + \mathcal{O}(t^2))^T(1 + At + \mathcal{O}(t^2)) = 1\] \[1 + A^Tt + At = 1\] \[A = -A^T\]E por conta de $\det O = 1$ temos também que $Tr(A) = 0$. Dessa forma, as matrizes de $\mathfrak{so}(3)$ são antissimétricas e possuem traço nulo:
\[\mathfrak{so}(3): \{ O \in Mat(\mathbb{R}, 3) \: | \: Tr(O) = 0, \: O = -O^T\}\]Essas matrizes são nada mais nada menos que as matrizes de rotação $R_i$ geradoras de $SO(3)$. O colchete de Lie para essa álgebra é dado pelo comutador das matrizes de rotação em $\mathbb{R}^3$ que pode ser generalizado por
\[[R_{i}, R_{j}] = \epsilon_{ijk}R_{k}\]Agora sim, o isomorfismo entre essas Álgebras de Lie
Vamos resumir tudo que vimos até agora.
Como sabemos, o grupo $SU(2)$ é um grupo de Lie que é composto por matrizes complexas $2 \times 2$ que é homeomorfo à esfera $\mathbb{S}^3$ onde a estrutura da matriz pode ser escrita da seguinte forma:
\[U = \begin{pmatrix} a && b \\ -\bar{b} && \bar{a} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a + ib && c +id \\ -c + id && a -ib \end{pmatrix}\]Veja que podemos reescrever a matriz acima como uma combinação de outras matrizes da seguinte forma:
\[U = a \begin{pmatrix} 1 && 0 \\ 0 && 1 \end{pmatrix} + ic \begin{pmatrix} 0 && -i \\ i && 0 \end{pmatrix} + id \begin{pmatrix} 0 && 1 \\ 1 && 0 \end{pmatrix} + ib\begin{pmatrix} 1 && 0 \\ 0 && -1 \end{pmatrix}\]Veja que as matrizes acima, exceto a primeira que obviamente é $\mathbb{1}$, são as matrizes de Pauli! Fazendo mais algumas contas nós conseguimos verificar que os geradores de $SU(2)$ são definidos como $S = i\sigma_k$. O comutador das matrizes de Pauli é $[\sigma_{i}, \sigma_{j}] = 2i\epsilon_{ijk}\sigma_{k}$.
Já o grupo $SO(3)$ é chamado de grupo de rotação em $\mathbb{R}^3$ onde são matrizes $3 \times 3$ tal que seus geradores $R_i$ são da forma:
\[R_{1} = \begin{pmatrix} 0 && 0 && 0 \\ 0 && 0 && -1 \\ 1 && 0 && 0 \end{pmatrix}\] \[R_{2} = \begin{pmatrix} 0 && 0 && -1 \\ 0 && 0 && 0 \\ 1 && 0 && 0 \end{pmatrix}\] \[R_{3} = \begin{pmatrix} 0 && -1 && 0 \\ 1 && 0 && 0 \\ 0 && 0 && 0 \end{pmatrix}\]O colchete de Lie de $\mathfrak{so}(3)$ é $[R_{i}, R_{j}] = \epsilon_{ijk}R_{k}$
Observe que o formato do comutador das matrizes de $SU(2)$ e $\mathfrak{so}(3)$ é muito parecido, isso indica que essas duas álgebras podem ser isomorfas.
Mas certo, o que é um isomorfismo?
A função $f$ é um isomorfismo caso ela seja um homomorfismo inversível, lembrando que homomorfismo é uma operação que preserva a operação dos dois grupos. Assim, $f$ é isomorfismo se:
- É linear
- $f([a, b]) = [f(a), f(b)]$
Porém, antes de prosseguirmos precisamos fazer uma transformação no comutador de $SU(2)$ para assim encontrar o colchete de Lie de $\mathfrak{su}(2)$. Veja que podemos reescrever a expressão do colchete da seguinte forma:
\[[J_{i}, J_{j}] = \epsilon_{ijk}J_{k}\]onde $J_{a} = -\frac{i}{2}\sigma_{a}$, que são as bases de $\mathfrak{su}(2)$. Sendo assim, veja que agora temos um mapeamento 1 para 1 desse colchete de Lie para o outro de $\mathfrak{so}(3)$. Então se fizermos a função linear mais simples possível:
\[f: \mathfrak{su}(2) \longrightarrow \mathfrak{so}(3)\] \[f(\sigma_{i}) = R_{i}\]Vamos demonstrar a condição 2:
\[f([\sigma_{i}, \sigma_{j}]) = [R_{i}, R_{j}]\] \[f(\epsilon_{ijk}\sigma_{k}) = \epsilon_{ijk}R_{k}\] \[\epsilon_{ijk}f(\sigma_{k}) = \epsilon_{ijk}R_{k}\]Como definimos que $f(\sigma_{i}) = R_{i}$, então a condição é satisfeita e portanto $f$ é um isomorfismo.
Embora os grupos $SU(2)$ e $SO(3)$ não sejam isomorfos (assunto para outro post), suas álgebras compartilham exatamente a mesma estrutura. Isso significa que os geradores infinitesimais de ambos os grupos obedecem às mesmas relações de comutação. Essa equivalência matemática permite interpretar o spin quântico, descrito por $SU(2)$, como uma extensão natural das rotações clássicas tridimensionais descritas por $SO(3)$.